INTRODUCTION
L’éléctrocinétique :
Il s’agit de l’étude du transport d’information (courant électrique ) dans des réseaux électriques.
(I-1)
C'est une variable d'effort. Pour obtenir une circulation de
courant dans un circuit, il faut qu'au moins deux points de ce circuit soient à
un instant donné à des potentiels différents.C'est une grandeur algébrique. Conventionnellement,
on représente la tension :
(I-4)
Lois d'association
(I-8)
Quelque soit u (I-25)
III.1. Diviseur de tension, diviseur de courant.
: Diviseur de
tension.
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III.5. Théorème de superposition.
c'est à dire :
L’éléctrocinétique :
Il s’agit de l’étude du transport d’information (courant électrique ) dans des réseaux électriques.
I. Définitions.
I.1. Courant
I.1.a. Définition.
Un courant électrique est une circulation de porteurs de
charges électriques. L'intensité du courant
électrique est la grandeur qui quantifie le débit de charge en un point
du circuit.
L'orientation du circuit en ce
point fait que l'intensité est une grandeur algébrique (avec un signe). C'est
une variable de flux.
I.1.b. Loi des intensités (loi des nœuds).
La somme de toutes les intensités des courants entrant dans
une portion de circuit est nulle.
I.1.c. A.R.Q.S. :
La loi qui précède ne
peut être considérée comme exacte que dans le cadre de l'approximation des régimes
quasi stationnaires (ARQS) : c'est à dire dans les cas où le produit de la
dimension du circuit par la fréquence des intensités considérées est très
inférieur à la célérité (vitesse) de la lumière.
Par exemple, pour des fréquences de l'ordre de 1 MHz, la
dimension du circuit doit être très inférieure à 300 m.
I.2. Tension ou d.d.p.
I.2.a. Définition
entre les points A et B du circuit par une flèche dirigée vers le point A (la
première des deux lettres A et B).
I.2.b. Loi des tensions (loi des mailles).
La somme des tensions effectuée en parcourant une maille est nulle
I.3. Dipôle
I.3.a. Définition.
Élément d'un circuit électrique comportant deux bornes. Il
impose une relation entre la tension u
à ses bornes et l'intensité du courant i
qui le traverse.
La fonction f liant u
à i : u = f(i) imposée par le
dipôle est appelée caractéristique du
dipôle. Par extension ce terme désigne aussi la représentation graphique de
cette fonction.
I.3.b. Convention de fléchage.
-
Convention récepteur :
Le courant et la tension sont
fléchés en sens inverse. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour
des dipôles s'opposant à la circulation du courant.
-
Convention générateur :
Le courant et la tension sont
fléchés dans le même sens. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour
des dipôles favorisant la circulation du courant.
Ces deux conventions existent
du fait de la répugnance de nos anciens à utiliser les nombres négatifs.
I.1.a. Puissance électrique
La puissance instantanée mise en jeu par un dipôle est :
P=U.I (I-2)
Cette puissance correspond à la
puissance consommée lorsque u et i sont fléchés selon la convention récepteur
et à la puissance fournie lorsqu'ils sont fléchés avec la convention
générateur.
II.1. Résistances.
II.1.a. Équation caractéristique
Pour une résistance on a :
au cours du temps, tension et courant sont homothétiques (de
même forme).
II.1.b. Puissance consommée
On constate que cette puissance est à chaque instant
positive : la résistance est un élément dissipatif.
II.1.c. Précaution d'emploi
En régime établi, la résistance ne doit pas dissiper une
puissance supérieure à Pmax
dont la valeur est en général prescrite par le constructeur. On en déduit les valeurs
maximales du courant et de la tension à ne pas dépasser à l'aide de la formule
(I-4).
La puissance dissipée l'est sous forme de chaleur, et c'est
souvent l'augmentation de température qui est responsable de la destruction du
composant. Pour des durées limitées, il est parfois possible de dépasser Pmax, mais cela dépend de
l'inertie thermique de la résistance. En l'absence d'indication du
constructeur, il est hasardeux de tenter sa chance !
Remarques :
-
La conductance d'une
"résistance" est la grandeur G telle que :
G=1/R (I-7)
La relation (I-6) peut alors
s’écrire :
-
Un conducteur idéal sera supposé
avoir une résistance nulle : R = 0.
-
La résistance d'un conducteur
homogène non idéal de section s et de
longueur l est :
II.2. Condensateurs
II.2..a. Équation caractéristique
Pour un condensateur
on a :
l'équation (I-10) montre que la tension aux bornes du
condensateur ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à
un courant d'intensité infinie, donc à une puissance infinie.
II.2..b. Lois d'association
II.3. Inductances.
II.3.a. Equation caractéristique
Une inductance L est un dipôle tel que :
Cette relation vient de l'expression du flux du champ
magnétique et de la loi de Faraday qui seront vues en magnéto-statique :
L'équation (I-16) montre que l'intensité du courant
traversant une inductance ne peut pas subir de discontinuité, cela
correspondrait en effet à une tension infinie à ses bornes, donc à une puissance
infinie.
II.3.b. Puissance consommée
L'équation (I-16) conduit à :
En utilisant la même transformation mathématique que pour le
condensateur, on obtient la relation (I-18)
la puissance instantanée consommée
par une inductance est liée à la variation du carré de l'intensité qui la
traverse : si celui ci augmente, l'inductance consomme de la puissance. Elle en
fourni dans le cas contraire.
L'énergie échangée entre 2
instants ti et tf vaut :
II.3.c. Précaution d'emploi:
Il ne faut pas dépasser en valeur instantanée la valeur
maximale de l'intensité prescrite par le constructeur. En cas de dépassement,
même très bref, on risque de "saturer" le circuit magnétique, ce qui
provoque une diminution brutale de la valeur de l'inductance pouvant entraîner
une surintensité.
II.3.d. Lois d'association:
Remarques :
-
Les lois précédentes ne sont
valables que pour des inductances non couplées magnétiquement.
- Les bobines utilisées comme inductances sont réalisées à l'aide de
bobinage de fil de cuivre. La résistance de ces bobines n'est pas toujours négligeable
ce qui conduit à modéliser une bobine réelle par l'association en série d'une
inductance idéale L et d'une résistance
r.
II.4. Source de tension
II.4.a. Symbole et équation caractéristique
Une source idéale de tension est un dipôle tel que:
Nous ne considérerons dans ce chapitre que des sources de
tensions continues, eTH
sera donc constant et noté ETH
II.4.b. Puissance et précautions
On utilise en général pour ces dipôles la convention
générateur, la grandeur p représente
alors la puissance fournie :
Cette puissance doit rester
inférieure à une valeur maximale imposée par le constructeur, il s'ensuit qu'il
existe une valeur maximale du courant que peut débiter cette source de tension.
I.1.a. Associations
-
En série :
-
En parallèle : il est interdit de placer en parallèle deux
sources de tensions délivrant des tensions différentes. Le courant de
circulation serait en effet infini.
Remarques :
-
Un conducteur parfait doit être
considéré comme une source de tension nulle c'est à dire imposant :
U = 0 quelque soit i.
-
Rendre passive une source de tension consiste à
poser ETH = 0 c'est à dire
que l'on transforme la source de tension en fil (conducteur parfait). Sur le
schéma cela consiste à supprimer le cercle :
II.5. Sources de courant
II.5.a. Symbole et équation caractéristique
Une source idéale de courant
est un dipôle tel que :
Nous ne considérerons dans ce chapitre que des sources de
courants continus, iN sera
donc constant et noté IN
II.5.b. Puissance maximale:
Ces sources de courant sont en général réalisées à l'aide de
systèmes électroniques et la tension à leurs bornes est limitée à une valeur
maximale Umax
La puissance que peut alors délivrer la source de courant
est donc inférieure à :
II.5.c. Associations et précautions
-
En
parallèle :
-
En série : il est interdit de placer en série deux sources de courant délivrant
des courants d'intensités différentes.
-
Une coupure du circuit doit être
considérée comme une source de courant nul c'est à dire imposant :
I = 0 quelque soit u.
-
Il peut être dangereux d'ouvrir
une branche contenant un générateur de courant car cela revient à placer en
série avec elle une source de courant nul.
-
Rendre passive une source de courant consiste à
poser IN = 0 c'est à dire
consiste à transformer la source de courant en coupure du circuit Sur le schéma
cela consiste à supprimer le cercle :
II.6. sources liées (ou sources commandées)
Il existe des sources de tension ou de courant dont la caractéristique
est imposée par une autre tension ou un autre courant du circuit.
Exemple :
La valeur de l'intensité débitée par la source de courant
est imposée par la valeur de iB
circulant dans une autre branche. Il s'agit alors d'une source de courant commandée
en courant.
III. Méthode d'étude des
circuits
III.1.a. Diviseur de tension.
Lorsque plusieurs résistances sont en série, la tension aux
bornes de l'une d'entre elle peut être déterminée par la relation :
III.1.b. Diviseur de courant.
Lorsque plusieurs résistances sont en parallèle, le courant
qui traverse l'une d'entre elle peut être calculé par la relation :
III.2. Générateurs réels
III.2.a. Modèle de Thévenin et
modèle de Norton d'un générateur réel
Beaucoup de générateurs ne peuvent pas être considérés comme
des sources idéales. Ils sont alors modélisés (dans un certain domaine de
fonctionnement et au prix de quelques approximations) par l'association d'une
source idéale et d'un dipôle linéaire.
Le modèle équivalent
de Thévenin (ou M.E.T.) d'un générateur réel comporte une source de tension
en série avec un dipôle linéaire :
En continu la source de tension est une source de tension
continue et le dipôle linéaire une résistance.
Le modèle équivalent
de Norton (ou M.E.N) d'un
générateur réel comporte une source de courant en parallèle avec un dipôle
linéaire. En continu c'est l'association en parallèle d'une source de courant
et d'une résistance :
Equivalence des deux modèles :
Les résistances r des deux modèles sont les mêmes. Les trois
paramètres ETH, IN et r sont liés par la relation :
III.2.b. Lois d'associations des générateurs réels.
-
En série : On transforme chaque générateur en M.E.T., puis on
associe les sources de tensions entre elles, et les dipôles linéaires entre eux
:
équivaut à
-
En parallèle : On transforme chaque générateur en M.E.N., puis on
associe les sources de courant entre elles, et les dipôles linéaires entre eux
:
III.3. Théorème de Thévenin et de Norton.
Toute portion de circuit comprise entre 2 bornes A et B et
qui ne contient que des éléments linéaires peut être modélisée par un unique
générateur équivalent de Thévenin ou de Norton.
Exemple :
III.3.a. Valeur à donner à ETH
C'est la même que la valeur de la tension existant "à
vide" entre A et B, c'est à dire celle que relèverait un voltmètre idéal
placé entre les bornes A et B.
Pour l'exemple précédent on a :
III.3.b. Valeur à donner à IN
C'est celle de l'intensité qui circulerait à travers un fil
reliant les bornes A et B c'est à dire celle mesurée par un ampèremètre idéal
placé entre A et B.
Dans notre exemple on obtient :
R2 étant court-circuitée.
III.3.c. Valeur à donner à r
C'est la résistance équivalente à celle du dipôle AB rendu
passif , soit pour l'exemple celui de la figure ci-dessous :
Remarques :
-
La relation (I-29) liant ces trois
valeurs, la détermination de deux d'entre elles est suffisante pour réaliser la
modélisation.
-
On aurait pu utiliser les lois
d'association des générateurs pour trouver le résultat : Dans l'exemple
précédent on peut considérer qu'il s'agit de 2 générateurs en parallèles :
que l'on transforme en
modèles de Norton équivalents :
Ce qui conduit à :
L'intérêt est que l'on peut remplacer ensuite cette
portion de circuit par le dipôle équivalent trouvé, ce qui peut faciliter la
résolution d'un problème.
III.3.d. Bon à savoir !
Lorsqu'on cherche le
modèle équivalent d'un circuit on doit aussi appliquer les 2 règles suivantes :
Tous les dipôles en parallèle avec une source de tension
idéale peuvent être enlevés : En effet le générateur idéal de tension
impose la tension à ses bornes quels que soient les dipôles reliés à ces mêmes
bornes. Si ce n'était pas le cas, ce ne serait pas un générateur idéal de tension.
Tous les dipôles en série avec une source de courant idéale
peuvent être enlevés : le générateur idéal de courant impose le courant
qui le traverse quels que soient les dipôles en série avec lui..
III.4. Théorème de Millman.
Il permet de trouver le potentiel d'un point du circuit
lorsqu'on connaît les autres.
La démonstration est immédiate à l'aide de la modélisation
par un ensemble de 3 générateurs en parallèle :
En remplaçant par les modèles de Norton équivalent on
obtient :
Puis on applique la loi d'Ohm.
Dans un circuit ne comportant que des éléments linéaires et
plusieurs sources, on peut calculer le potentiel d'un nœud du circuit (ou le
courant dans une branche) en faisant la somme des potentiels (ou des courants)
obtenus lorsqu'on rend passif toutes les sources indépendantes sauf une.
(Il est en revanche nécessaire de laisser les sources
liées).
III.6. Dualité.
III.6.a. Définition
Soit un dipôle D imposant entre u et i la relation :
Le dipôle Dd
est le dual du dipôle D si il impose l'équation :
III.6.b. Exemples
Nœud :
|
Maille :
|
Source de courant
|
Source de tension
|
Circuit ouvert
|
Court circuit
|
Interrupteur ouvert
|
Interrupteur fermé
|
Inductance
|
Condensateur
|
Résistance
|
Conductance
|
M.E.N.
|
M.E.T.
|
Dipôles en série :
Traversés par le même courant
|
Dipôles en parallèle :
Soumis à la même tension
|
III.6.c. Circuit dual
Le dual d'un circuit est un autre circuit dans lequel toutes
les tensions auront à chaque instant la valeur des courants du circuit
d'origine et réciproquement.
Pour déterminer le dual d'un circuit on utilise la méthode
suivante :
-
On place un point dans chaque
maille du circuit. Chaque point correspondra à un nœud dual de cette maille
dans le circuit dual.
-
On place un point à l'extérieur du
réseau.
-
On relie ensuite ces points en
passant sur les dipôles existants.
-
Le circuit dual est constitué en
plaçant l'élément dual de l'élément qui apparaît entre deux points du circuit
source, entre les deux nœuds correspondants du circuit dual :
-
L'orientation du circuit dual est
obtenue en écrivant les équations de nœuds de ce circuit qui sont duales des
équations de mailles du circuit source.
III.6.d. Intérêt.
Toutes les lois reliant les intensités dans un circuit sont
applicables aux tensions dans le circuit dual et réciproquement.
Par exemples la formule du diviseur de courant peut être
déduite par dualité de la formule du diviseur de tension.
III.7. Conseils pour la résolution des problèmes.
-
Compter le nombre de nœuds dans le
circuit. Par exemple le circuit ci dessous ne comporte que 2 nœuds donc une
seule tension, les 3 dipôles sont donc en parallèle :
-
Affecter le potentiel 0 à la masse
du montage ou, à défaut de précision à la borne (–) du générateur délivrant la
tension la plus élevée.
-
Utiliser les lois permettant de
réduire au maximum le circuit avec le minimum de calcul
-
Vérifier que l'on utilise le
diviseur de tension pour des résistances effectivement en série c'est à dire
traversée par le même courant et le diviseur de courant pour des résistances
effectivement en parallèle c'est à dire placées entre les mêmes nœuds.
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